Théorème de la sommation d'Abel :
Soient \((a_k)_{k\geqslant0}\) et \((b_k)_{k\geqslant0}\) deux suites tq :
1. \((a_k)_{k\geqslant0}\) est une suite décroissante positive qui tend vers \(0\) ou elle est telle que \(\sum^{+\infty}_{n=1}\lvert a_n-a_{n-1}\rvert\) converge
2. Les sommes partielles de \((b_k)_{k\geqslant0}\) sont bornées : $$\exists M,\forall n\in{\Bbb N},\quad\lvert b_0+\ldots+b_n\rvert\leqslant M$$
Alors la série \(\displaystyle\sum_{k\geqslant0} a_kb_k\) converge
(Suite décroissante, Suite positive, Suite convergente, Série numérique, Ensemble borné, Série convergente)
Critère de Leibniz - Théorème des séries alternées
Corollaire du théorème de la sommation d'Abel :
Si \((a_n)_n\) est telle que \(\sum^{+\infty}_{n=1}\lvert a_n-a_{n-1}\rvert\) converge et \((b_n)_n\) est telle que \(\sum^{+\infty}_{n=1}b_n\) converge, alors on a : $${{\left|\sum^{+\infty}_{n=p+1}a_nb_n\right|}}\leqslant{{2a_pM}}$$